17-12-2022 | 1658
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB là đáy lớn. Trên cạnh SA, SB lấy hai điểm M, N sao cho \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{3}\). G là trọng tâm của tam giác ACD.
a) Tìm giao tuyến mặt (SAB) với mặt (SBC)
b) Tìm giao điểm AN với mặt (SCD)
c) Chứng minh: GM//(SDC)
Câu a).
Ta có:
\(\left\{ \begin{gathered} S = (SAB) \cap (SBC) \hfill \\ B = (SAB) \cap (SBC) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
\( \Rightarrow SB = (SAB) \cap (SBC)\)
Vậy SB là giao tuyến của mp (SAB) với mp (SBC)
Câu b). Tìm giao điểm AN với mặt (SCD)
Ta có:
\(\left\{ \begin{gathered} AB//CD\,\,( vì \hspace{2mm} ABCD \hspace{2mm} là \hspace{2mm} hình \hspace{2mm} thang) \hfill \\ AB \subset (SAB) \hfill \\ CD \subset (SCD) \hfill \\ S = (SAB) \cap (SCD) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
\( \Rightarrow Sx = (SAB) \cap (SCD)\) (với Sx đi qua S và song song với hai đường thẳng AB và CD
(Hai mặt phẳng lần lượt đi qua hai đưởng thẳng song song thì giao tuyến của chúng nếu có sẽ song song với hai đường thẳng đó).
\(\left\{ \begin{gathered} Sx \subset (SAB) \hfill \\ AN \subset (SAB) \hfill \\ Sx \nparallel AN \hfill \\ \end{gathered} \right.\) \(\Rightarrow Sx \cap AN = E\)
\( \Rightarrow E = AN \cap (SCD)\)
c). Chứng minh MG//(SDC)
Gọi K là trung điểm của DC, ta có:
\(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{3}\) (giả thuyết)
\(\frac{{KG}}{{KA}} = \frac{1}{3}\) (tính chất trọng tâm trong tam giác ADC).
\( \Rightarrow \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{KG}}{{KA}}\)
\( \Rightarrow MG//SK\) (Áp dụng đinh lý Ta-let đảo trong tam giác SAK).
\(\Rightarrow MG//(SDC)\)
