29-12-2022 | 5158
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tia Ax nằm giữa AB và AO cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm C và D (C nằm giữa A và D). Gọi M là trung điểm của dây CD, kẻ BH vuông góc với AO tại H.
a) Tính OH.OA theo R.
b) Cho \(\widehat{ABC} = \widehat{ADB}\). Chứng minh AC.AD = AH.AO và \(\widehat{CHO} + \widehat{CDO} = 180^{0}\).
c) Qua C kẻ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O) cắt OM tại E. Chứng minh ba điểm E, H, B thẳng hàng.
Bài giải
a) Tính OH.OA
Tam giác ABO vuông tại A, \(BH\perp OA\), ta có:
\(OA.OH = O{B^2}=R^{2}\)
b)Chứng minh AC.AD = AH.AO
* Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADB\) có:
\(\widehat A\) là góc chung
\(\widehat {ABC} = \widehat {ADB}\) (giả thuyết hay góc tạo bởi tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cùng BC)
\(\Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta ADB\) (g-g)
\(\Rightarrow \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AD}}\)
\(\Rightarrow AC.AD=A{B^2}=OA.OH\) (hệ thức lượng trong tam giác ABO vuông tại B, BH là đường cao).
* Chứng minh \( \widehat {CHO}+ \widehat {CDO} =180^{0}\)
Xét \(\Delta ACH\) và \(\Delta AOD\) có:
\(\widehat A\) là góc chung
\(\Rightarrow \frac{{AC}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AD}}\) (suy ra từ \(AC.AD = AH.AO\)).
\(\Rightarrow \Delta ACH \sim \Delta AOD\) (c-g-c)
\(\Rightarrow \widehat {ACH} = \widehat {AOD}\)
Ta có:
\(\widehat {CHO} = \widehat {CAH} + \widehat {ACH}\) (\(\widehat {CHO}\) là góc ngoài của tam giác ACH)
\(= \widehat {CAH} + \widehat {AOD}\)
\(\Rightarrow \widehat {CHO} + \widehat {CDO} = \widehat {CAH} + \widehat {ACH} + \widehat {CDO}\) (tổng ba góc trong tam giác)
\(= {180^0}\)
c) Chứng minh E, H, B thẳng hàng
Theo câu b) \(\widehat {CHO} + \widehat {CDO} = 180^{0}\)
Suy ra tứ giác CDOH nội tiếp đường tròn (1).
\(OE \bot CD\) (tính chất đường kính và dây trong đường tròn (O)).
\(CO \bot CE\) (CE là tiếp tuyến với (O) tai C).
\(\widehat {CEO} = \widehat {MCO}\) (cùng phụ với góc \(\widehat {COE}\))
Mà \(\widehat {MCO} = \widehat {DCO}= \widehat {CDO}\) ( \(OC = OD = R \Rightarrow \)tam giác CDO cân tại O).
\(\Rightarrow \widehat {CEO} = \widehat {CDO}\)
Suy ra tứ giác ODEC nội tiếp đường tròn (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau) (2).
Từ (1) và (2), ta suy các điểm O, H, C, E, D cùng thuộc một đường tròn. Hay tứ giác OHCE nội tiếp.
Mà \(\widehat {OCE} = {90^0}=\widehat {OHE} \) (cùng chắn cung OE).
\(\Rightarrow EH \bot OA\) (3)
Lại có \(BH \bot OA\) (giả thuyết) (4)
Từ (3) và (4), kết luận ba điểm E, H, B thẳng hàng.
