01-01-2023 | 1545
Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ đường tròn (O,R) có đường kính AB, nó cắt cạnh BC, AC theo thứ tự ở M và N. Gọi I là giao điểm của AM và BN.
a) Chứng minh rằng: \(\widehat{ANB} =\widehat{AMB}\) và \(CI\perp AB\).
b) Gọi K là trung điểm của CI. Chứng minh rằng: MK là tiếp tuyến của đươgnf tròn (O).
c) Tính tổng AI.AM + BI.BN theo R.
Bài giải
a) Ta có:
\(\widehat{ANB} = \widehat{AMB} = 90^{0}\) (đều là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
\( \Rightarrow AM,BN\) là hai đường cao của tam giác ABC.
\( \Rightarrow CI\) nằm trên đường cao thứ ba của tam giác ABC.
Vậy \(CI\perp AB\).
b)
Ta có:
\(\widehat{CNI} = \widehat{CMI} = 90^{0}\)
\(\Rightarrow CMNI\) là tứ giác nội tiếp.
Do K là trung điểm của cạnh huyền chung của hai tam giác CNI và CMI nên:
\(KC = KM = KI = KN = \frac{1}{2}CI\)
Hay đường tròn ngoại tiếp tiếp tứ giác CMNI có tâm là I.
\(\Rightarrow \Delta CKM\) cân tại K.
\(\Rightarrow \widehat {CMK} = \widehat {MCK}\)
\(\widehat {CMK} = \widehat {MNI}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN của đường tròn ngoại tiếp CMNI).
\(\widehat {MNI} = \widehat {MAB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM của đường tròn (O)).
\(\widehat {MAB} = \widehat {AMO}\) (tam giác AMO cân tại O vì có OA=OM=R).
\( \Rightarrow \widehat {CMK} = \widehat {AMO}\)
Mà \(\widehat {CMI} = \widehat {CMK} + \widehat {KMI} = {90^0}\)
\(\Rightarrow \widehat {AMO} + \widehat {KMI} = {90^0}\)
\( \Rightarrow MK \bot OM\)
Vậy MK là tiếp tuyến của (O) tại M.
c) Tam giác AHI và tam giác AMB có:
\(\widehat {AHI} = \widehat {AMB} = {90^0}\) và \(\widehat A\) là góc chung
\(\Rightarrow \Delta AHI \sim \Delta AMB\)
\( \Rightarrow \frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AM}}\)
\(\Rightarrow AI.AM = AB.AH\)
Chứng minh tương tự ta cũng có \(\Delta BHI \sim \Delta BNA\) và suy ra được \(BI.BN = AB.BH\)
\(\Rightarrow AI.AM + BI.BN\)
\(= AB.AH + AB.BH\)
\( = AB(AH + BH)\)
\(= AB.AB = A{B^2}\)
\(= {(2R)^2} = 4{R^2}\)
