30-03-2023 | 729
Trong không gian Oxyz, tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(d:\left\{ \begin{gathered} x = 2 - t \hfill \\ y = 2t \hfill \\ z = 1 + 2t \hfill \\ \end{gathered} \right.\) bằng \(\sqrt {10} \).
Bài giải:
Điểm M thuộc Oy nên tọa độ có dạng: \(M(0;m;0)\)
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = ( - 1;2;2)\) và đi qua điểm \(A(2;0;1)\)
Ta có:
\(\overrightarrow {AM} = ( - 2;m; - 1)\)
\(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right] = (2m + 2;5;m - 4)\)
Khoảng cách từ M đến đường thẳng d: \(d(M,d) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}=\sqrt{10}\)
\(\Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {2m + 2} \right)}^2} + {5^2} + {{\left( {m - 4} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \sqrt {10} \)
\( \Leftrightarrow \frac{{5{m^2} + 45}}{9} = 10\)
\(\Leftrightarrow {m^2} = 9 \Leftrightarrow m = \pm 3\)
Vậy có 2 điểm M thỏa yêu câu đề bài: \({M_1}(0; - 3;0),{M_2}(0;3;0)\)
