29-12-2022 | 3266
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, hình chiếu của đỉnh S trên mặt đáy trùng với tâm của đáy \(AB=a\), \(AC=2a\). Góc giữa cạnh bên SD và mặt phẳng đáy bằng 300. Thể tích khối chóp S.ABC là...
Bài giải
Tam giác ABC vuông tại B, H là trung điểm của AC (giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật).
\(\Rightarrow BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} \)
\(= \sqrt {{(2a)^2} - {{a}^2}} = \sqrt {3{a^2}} \) \(= a\sqrt 3 \)
\(BH = \frac{1}{2}AC\) \(= \frac{1}{2}.2a = a\)
Tam giác SBD cân tại S (vì SH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác SBD).
\( \Rightarrow \widehat {\left( {SD,(ABCD)} \right)} = \widehat {SDB} = \widehat {SBD} = {30^0}\)
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SH\)
\(= \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AB.BC.BH.\tan \widehat {SBD}\)
\( = \frac{1}{6}.a.a\sqrt 3 .a.\tan {30^0}\)
\(= \frac{1}{6}{a^3}\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{{a^3}}}{6}\)
