31-03-2023 | 2213
Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với đường chéo BD ( H thuộc BD )
a) Chứng minh tam giác ABD và tam giác HAD đồng dạng
b) Cho AB = 8cm, BD = 10cm. Tính AD, DH, BH
c) Gọi E là trung điểm của HB, K là trung điểm của AH. Chứng minh: EH.BD = EK.DC
d) Gọi F là trung điểm của DC. Chứng minh tứ giác DKEF là hình bình hành và AE ⊥ EF
Bài giải:
a)
Ta có:
\(\widehat {BAD} = {90^0}\) (Do ABCD là hình chữ nhật)
\(\widehat {AHB} = {90^0}\) (AH vuông góc với đường chéo BD)
Xét ABD và tam giác HAD có:
\( \widehat {BAD} = \widehat {AHB}=90^{0}\)
\( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {HDA}\) (góc chung)
\(\Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta HAD\) (g-g)
b) Tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2}\)
\( \Rightarrow A{D^2} = B{D^2} - A{B^2}\)
\(= {10^2} - {8^2} = 36\)
\( \Rightarrow AD = 6\) (cm)
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AD = \frac{1}{2}BD.AH\)
\(\Rightarrow AH = \frac{{AB.AD}}{{BD}} = \frac{{8.6}}{{10}} = 4,8\) (cm)
\( \Delta ABD \sim \Delta HAD\)
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{HA}} = \frac{{AD}}{{HD}}\)
\( \Rightarrow HD = \frac{{AD.HA}}{{AB}} = \frac{{6.4,8}}{8} = 3,6\)cm
\( \Rightarrow HB = BD - HD = 10 - 3,6 = 6,4\)cm
c)
Do E, K lần lượt là trung điểm của HB và AK nên EK là đường trung bình của tam giác HAB.
\(\Rightarrow EK//AB\)
Mà \(AB//CD\) do ABCD là hình chữ nhật.
\(\Rightarrow EK//AB//CD\) \( \Rightarrow \widehat {KEH} = \widehat {BDC}\)
Xét tam giác HEK và tam giác CDB có:
\(\widehat {KEH} = \widehat {BDC}\)
\(\Rightarrow \widehat {EHK} = \widehat {DCB} = {90^0}\)
\(\Rightarrow \Delta HEK \sim \Delta CDB\) (g-g)
\( \Rightarrow \frac{{HE}}{{CD}} = \frac{{EK}}{{DB}} \Leftrightarrow HE.BD = EK.DC\)
d)
Ta có:
\(DF = \frac{1}{2}DC\) (F là trung điểm DC)
\(EK = \frac{1}{2}AB\), \(EK//AB\) (EK là đường trung bình của tam giác HAB)
Mà \(DC = AB, DC//AB\) (ABCD là hihf chữ nhật)
\( \Rightarrow EK//DC,EK = \frac{1}{2}DC\)
\(\Rightarrow EK//DF,EK = DF\)
Vậy tứ giác DKEF là hình bình hành.
Lại có:
\(EK \bot AD\) (EK//AB và AB vuông với AD).
\(AH \bot ED\)
Suy ra K là trực tâm của tam giác ADE
\(\Rightarrow DK \bot AE\)
mà DK//EF (DKEF là hình bình hành)
\(\Rightarrow EF \bot DK\)
