13-12-2022 | 1456
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC. Trên tia đối của tia NM lấy điểm D sao cho: ND = MN. Chứng minh:
a) Tứ giác BMCD là hình bình hành.
b) Tứ giác AMDC là hình gì? Vì sao?
c) Tam giác BDA cân.
Câu a)
1. Hướng dẫn
Nhắc lại 5 dấu hiệu nhận biết hình bình hành
- Tứ giác có cách cạnh đối song song là hình bình hành;
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;
- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
Theo đề ta sẽ áp dụng dấu hiệu thứ 5 để chứng mình tứ giác BMCD là hình bình hành.
2. Bài giải
Ta có:
N là trung điểm của BC (theo giả thuyết) (1)
N là trung điểm của MD (Vì ND = NM) (2)
Từ (1) và (2), suy ra tứ giác BMCD là hình bình hành (vì tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).
Câu b)
1. Hướng dẫn
Trước tiên, chúng ta sử dụng dấu hiệu thứ ba "Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành" để chứng AMDC là hình bình hành.
Sau đó kết luận là hình chữ nhật vì có một góc vuông.
2. Bài giải
Ta có:
BMCD là hình bình hành đã chứng minh ở câu a.
\(\Rightarrow\) CD // BM và CD = BM
\(\Rightarrow\) CD // AM và CD = AM (M là trung điểm AB)
\(\Rightarrow\) Tứ giác AMDC là hình bình hành (tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau)
Mặt khác:
Tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow\) \(\widehat{MAC}\) là góc vuông.
Vậy tứ giác AMDC là hình chữ nhật vì nó là hình bình hành có một góc vuông.
1. Hướng dẫn
Sư dụng tính chất của hình bình hành BMCD và tính chất của hình chữ nhật AMDC để chứng minh DB = DA.
2. Bài giải
Ta có:
Tứ giác BMCD là hình bình hành \(\Rightarrow\) DB = MC
Tứ giác AMDC là hình chữ nhật \(\Rightarrow\) MC = DA (hình chữ nhật có 2 đường chéo bằng nhau).
Vậy tam giác BDA có DB = DA nên BDA là tam giác cân tại D.
