24-12-2022 | 1353
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC.
a) Gọi M là điểm đối xứng của E qua D. Chứng minh tứ giác ACEM là hình bình hành.
b) Chứng minh tứ giác AEBM là hình chữ nhật.
c) Biết AE = 8 cm, BC = 12 cm. Tính diện tích tam giác AEB.
Bài làm
a) Chứng minh tứ giác ACEM là hình bình hành
Ta có:
E, D lần lượt là trug điểm của BC và AB nên ED là đường trung bình của tam giác ABC.
\(\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} ED//AC \hfill \\ AC = 2ED \hfill \\ \end{gathered} \right.\) (1)
\(EM=2ED\) (2) (M là điểm đối xứng của E qua D).
Từ (1) và (2), ta suy ra:
\(\left\{ \begin{gathered} EM//AC \hfill \\ EM = AC \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác ACEM là hình bình hành (tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau).
b) Chứng mính AEBM là hình chữ nhật
Ta có:
\(AM//CE,AM=CE\) (1) (vì ACEM là hình bình hành).
\(\Rightarrow AM//EB\)
\(BE = CE = \frac{1}{2}CB\) (2) (E là trung điểm BC).
Từ (1) và (2), suy ra:
\(\left\{ \begin{gathered} AM//BE \hfill \\ AM = BE \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
Tứ giác AEBM là hình bình hành (tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau).
Mặt khác:
\(AE \bot BC\) (vì AE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác ABC cân tại A).
\( \Rightarrow \widehat {AEB} = {90^0}\)
Vậy tứ giác AEBM là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông).
c) Tính diện tích tam giác AEB
Ta có:
\(BE = \frac{1}{2}BC\)
\( = \frac{1}{2}.12 = 6\)
\({S_{\Delta AEB}} = \frac{1}{2}BE.AE\)
\(= \frac{1}{2}.6.8 = 24\) (cm)
