23-12-2022 | 1542
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.
a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh EMFN là hình vuông.
Bài làm
a) Ta có:
\(AB = 2AE\) (E là trung điểm của AB).
\(DC=2DF\) (F là trung điểm của DC).
Mà \(AB=DC\) và \(AB//DC\) (ABCD là hình chữ nhật).
\(\Rightarrow AE=DF\) và \(AE//DF\)
\(\Rightarrow ADFE\) là hình bình hành (1)
Mặt khác
\(\widehat{DAB} =90^{0}\) (ABCD là hình chữ nhật).(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow ADFE\) là hình chữ nhật. (3)
Lại có:
\(AB=2AD\) (giả thuyết)
\(\Rightarrow AD=AE\) (vì \(AB=2AE\)) (4)
Từ (3) và (4), suy ra:
Tứ giác ADFE là hình vuông (vì hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau).
b) Chứng minh tương tự câu a) ta cũng có BCFE là hình vuông.
Ta có: \(AE = BE = \frac{1}{2}AB\) (E là trung điểm AB)
Suy ra ADFE và BCFE là hai hình vuông bằng nhau.
Mặt khác:
\(EM = \frac{1}{2}ED = \frac{1}{2}AF = MF\) (1) (tính hai đường chéo của hình vuông ADFE).
\(EN = \frac{1}{2}EC = \frac{1}{2}BF = NF\) (2) (tính hai đường chéo của hình vuông BCFE).
Mà \(ED=EC\) (do hai hình vuông ADEF và BCEF bằng nhau).
\(\Rightarrow EM = EN\) (3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra
\(EM = EN = MF = FN\)
Suy ra tứ giác EMFN là hình thoi (4).
Lại có:
\(\widehat {AED} = {45^0}\) (ED là ường chéo hình vuông ADFE)
\(\widehat {BEC} = {45^0}\) (EC là ường chéo hình vuông BCFE)
\( \Rightarrow \widehat {MEN} = \widehat {DEC}\)
\(= \widehat {AEB} - \widehat {AED} - \widehat {BEC}\)
\(= {180^0} - {45^0} - {45^0} = {90^0}\) (5)
Từ (4) và (5), suy ra tứ giác EMFM là hình vuông (hình thoi có 1 góc vuông).
