14-12-2022 | 629
Tam giác ABC có AB = 25, BC = 15, CA = 20. Tính \(M=\vec{BA}.\vec{BC}\)
1. Hướng dẫn
- Cách 1: Áp dụng các công thức tích vô hướng của hai vec tơ:
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\)
Và hệ quả của định lí côsin trong tam giác
\(\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{B{A^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2BA.BC}}\)
- Cách 2: Áp dụng công thức:
\({\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow a \overrightarrow b = \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b - {{\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)}^2}}}{2}\)
\(= \frac{{\overrightarrow a + {{\overrightarrow b }^2} - \overrightarrow c }}{2}\) với \(\overrightarrow c = {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2}\)
2. Bài giải
Cách 1:
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\)
\(= BA.BC.\frac{{B{A^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2BA.BC}}\)
\(= \frac{{B{A^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{2}\)
\(= \frac{{{{25}^2} + {{15}^2} - {{20}^2}}}{2} = 225\)
Cách 2:
\({\left( {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right)^2} = {\overrightarrow {BA} ^2} - 2\overrightarrow {BA} \overrightarrow {BC} + {\overrightarrow {BC} ^2}\)
\( \Rightarrow {\overrightarrow {CA} ^2} = {\overrightarrow {BA} ^2} - 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + {\overrightarrow {BC} ^2}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{{\overrightarrow {BA} }^2} + {{\overrightarrow {BC} }^2} - {{\overrightarrow {CA} }^2}}}{2}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \frac{{B{A^2} + B{C^2} - C{A^2}}}{2}\)
\(= \frac{{{{25}^2} + {{15}^2} - {{20}^2}}}{2} = 225\)
