16-12-2022 | 1305
Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm AB.
a). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {DA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}\).
b). Gọi điểm N thỏa mãn \(\overrightarrow {NC} + 2\overrightarrow {NA} = \overrightarrow 0 \). Phân tích \(\overrightarrow {DN} \) theo \(\overrightarrow {DA} \) và \(\overrightarrow {DC} \).
c). Chứng minh 3 điểm D, M, N thẳng hàng.
Câu a)
1. Nhận xét
Tổng của hai vectơ là một vectơ.
Tổng của hai vectơ cùng phương là một vectơ cùng phương với hai vectơ tính tổng .
\(\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}\) thì \(\overrightarrow{a} \) và \(\overrightarrow{b} \) phải là hai vectơ cùng phương.
2. Phản hồi
\(\overrightarrow{AD} \) và \(\overrightarrow{BC} \) là hai vectơ cùng phương nhưng chúng không cùng phương với \(\overrightarrow{DM} \).
Kết luận đề sai.
Gợi ý chỉnh sửa:
\(\overrightarrow{DM} =\overrightarrow{DA} +\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \) hoặc \(\overrightarrow{DM} =\overrightarrow{DA} +\frac{1}{2} \overrightarrow{DC} \)
Khi đó, ta có bài giải:
\(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AM} \) (quy tắc 3 điểm)
\(= \overrightarrow {DA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) (M là trung điểm AB)
\( = \overrightarrow {DA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC}\) (\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {DC} \) vì ABCD là hình bình hành).
Câu b)
Ta có:
\(\overrightarrow {NC} + 2\overrightarrow {NA} = \overrightarrow 0\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {NC} = - 2\overrightarrow {NA} \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {NC} ,\overrightarrow {NA}\) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow {NC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {NA} } \right|\)
\( \Rightarrow A,N,C\) thẳng hàng, N nằm giữa A và C đồng thời NC = 2NA
Ta phân tích \(\overrightarrow{DN} \) như sau:
\(2\overrightarrow {DN} = 2\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AN} } \right) = 2\overrightarrow {DA} + 2\overrightarrow {AN} \)
\(\overrightarrow {DN} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN}\)
\( \Rightarrow 3\overrightarrow {DN} = 2\overrightarrow {DA} + 2\overrightarrow {AN} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \)
\(= 2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} + 2\overrightarrow {AN} + \overrightarrow {CN}\)
\(= 2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {0}\) ( \(2\overrightarrow {AN} \) và \(\overrightarrow {CN}\) là hai vectơ đối nhau)
\( \Rightarrow \overrightarrow {DN} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {2DA} + \overrightarrow {DC} } \right)\)
Câu c)
\(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AM}\)
\(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BM} \)
\( \Rightarrow 2\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BM} \)
\(= \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} \)
\(= 2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DA} \)
Theo câu b) ta có:
\(\overrightarrow {DN} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {2DA} + \overrightarrow {DC} } \right) \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {DN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DM} \)
Suy ra \(\overrightarrow{DN} \) và \(\overrightarrow{DM} \) là hai vectơ cùng phương.
Vậy 3 điểm D, M, N thẳng hàng.
