20-12-2022 | 1108
Cho tam giác ABC có các cạnh bằng 4a, lấy D∈BC, E∈AC, F∈AB sao cho AE = a, AF = 3a, BD = x (0 < x < 4a). Tính EF và tìm x sao cho ∆ DEF vuông góc tại F.
Bài giải
Tính EF
Tam giác ABC có các cạnh bằng 4a nên ∆ABC là tam giác đều. Ta có:
\(E{F^2} = A{E^2} + A{F^2} - 2AE.AF.\cos A\)
\( = {a^2} + {(3a)^2} - 2.a.3a.\cos {60^0}\)
\(= {a^2} + 9{a^2} - 6{a^2}.\frac{1}{2}\)
\( = 7{a^2}\)
\( \Rightarrow EF = a\sqrt 7 \)
Tìm x
Ta có:
\(F{D^2} = B{F^2} + B{D^2} - 2BF.BD.\cos \widehat B\)
\( = {a^2} + {x^2} - 2.a.x.\cos {60^0}\)
\(= {a^2} + {x^2} - 2.a.x.\frac{1}{2}\)
\(= {a^2} + {x^2} - ax\)
\({ED^2} = C{E^2} + C{D^2} - 2CE.CD.\cos \widehat C\)
\(= {(3a)^2} + {(4a - x)^2} - 2.(3a).(4a - x).\cos {60^0}\)
\( = 9{a^2} + {(4a - x)^2} - 6a(4a - x).\frac{1}{2}\)
\(= 9{a^2} + 16{a^2} - 8ax + {x^2} - 12{a^2} + 3ax\)
\(= 13{a^2} - 5ax + {x^2}\)
Tam giác DEF vuông tại F nên:
\(E{D^2} = E{F^2} + F{D^2}\)
\(\Leftrightarrow 13{a^2} - 5ax + {x^2} = 7{a^2} + {a^2} + {x^2} - ax\)
\( \Leftrightarrow 5{a^2} = 4ax\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{{5a}}{4}\)
