21-12-2022 | 3053
Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa. Nơi cho thuê xe chỉ có 10 xe hiệu MITSUBISHI và 9 xe hiệu FORD. Một chiệc xe hiệu MITSUBISHI có thể chở 20 người và 0,6 tấn hàng. Một chiếc xe hiệu FORD có thê chở 10 người và 1,5 tấn hàng. Tiền thuê một xe hiệu MITSUBISHI là 4 triệu đồng, một xe hiệu FORD là 3 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất?
Bài giải
Gọi x, y lần lượt là số lượng xe hiệu MITSUBISHI và hiệu FORD cần thuê.
Điều kiện: \(0\leqslant x \leqslant 10\) , \(0\leqslant y \leqslant 9\), x, y là các số nguyên.
Số người các xe chở được là:
\(20x + 10y\) (người)
Các xe phải chở hết 140 người nên:
\(20x + 10y \geqslant 140\)
Số hàng hóa các xe chở được là:
\(0,6x + 1,5y\) (tấn)
Các xe phải chở hết 9 tấn hàng hóa nên:
\(0,6x + 1,5y \geqslant 9\)
Số tiền thuê hai loại xe là:
\(F=4x+3y\) (triệu đồng)
Như vậy, từ yêu cầu bài toán ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của F với điệu kiện:
\(\left\{ \begin{gathered} 20x + 10y \geqslant 140 \hfill \\ 0,6x + 1,5y \geqslant 9 \hfill \\ 0 \leqslant x \leqslant 10 \hfill \\ 0 \leqslant y \leqslant 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)(I)
Trước tiên ta xác định miền nghiệm của từng bất phương trình của hệ (I).
Miền nghiệm của bất phương trình \(20x + 10y \geqslant 140\) là nửa mặt phẳng bờ \({d_1}:20x + 10y = 140\) (bao gồm đường thẳng d1) không chứa điểm O(0;0).
Tương tự ta cũng xác định miền nghiệm của các bất phương trình còn lại của hệ (I) và được biểu diễn như hình vẽ.
\({d_2}:0,6x + 1,5y = 9\)
\({d_3}:x = 10\)
\({d_4}:y = 9\)
Miền nghiệm của hệ (I) được biểu diễn trên hệ trục tọa độ Oxy là hình tứ giác ABCD
Điểm B là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2. Suy ra tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \begin{gathered} 20x + 10y = 140 \hfill \\ 0,6x + 1,5y = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 5 \hfill \\ y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\) \(\Rightarrow B(5;4)\)
Tương tự ta có:
\(A(10;2),C\left( {\frac{5}{2};9} \right),D(10;9)\)
Giá trị của F đạt lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại \((x;y)\) sao cho \((x;y)\) là tọa độ của đỉnh của tứ giác ABCD.
Xét bảng giá trị sau:
| x | 5/2 | 5 | 10 | 10 |
| y | 9 | 4 | 2 | 9 |
| F = 4x+3y | 37 | 32 | 46 | 67 |
Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất là 32 tại \((x;y) = (5;4)\)
Vậy ta cần thuê 5 xe hiệu MITSUBISHI và 4 xe hiệu FORD thì chi phí vận chuyển là thấp nhất (32 triệu đồng).
