24-12-2022 | 1676
Trên hệ trục toa độ Oxy, cho ba điểm A(-2;2), B(-3;-1), C(2;4). Tìm điểm H trên BC sao cho \(HA^{2}+HB^{2}+HC^{2}\) nhỏ nhất.
Bài giải
Ta có:
\(\overrightarrow {BC} = (5;5) = 5(1;1)\)
Đường thẳng BC qua C(2;4) và nhận véc tơ \(\overrightarrow u = (1;1)\) làm véc tơ chỉ phương nên có phương trình:
\(BC:\left\{ \begin{gathered} x = 2 + t \hfill \\ y = 4 + t \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
\(H \in BC\) Tọa độ H có dạng \(H(2 + t;4 + t)\)
\(\overrightarrow {HA} = ( - 2 - 2 - t;2 - 4 - t) = ( - 4 - t; - 2 - t)\)
\( \Rightarrow H{A^2} = {\left( {\sqrt {{{( - 4 - t)}^2} + {{( - 2 - t)}^2}} } \right)^2}\)
\( = 2{t^2} + 12t + 20\)
\(\overrightarrow {HB} = ( - 3 - 2 - t; - 1 - 4 - t) = ( - 5 - t; - 5 - t)\)
\( \Rightarrow H{B^2} = {\left( {\sqrt {{{( - 5 - t)}^2} + {{( - 5 - t)}^2}} } \right)^2}\)
\( = 2{t^2} + 20t + 50\)
\(\overrightarrow {HC} = (2 - 2 - t;4 - 4 - t) = ( - t; - t)\)
\(\Rightarrow H{C^2} = {\left( {\sqrt {{{( - t)}^2} + {{( - t)}^2}} } \right)^2}\)
\( = 2{t^2}\)
\(H{A^2} + H{B^2} + H{C^2}\)
\(= 2{t^2} + 12t + 20 + 2{t^2} + 20t + 50 + 2{t^2}\)
\( = 6{t^2} + 32t + 70\)
Xét \(f(t) = 6{t^2} + 32t + 70\) là một parabol có đỉnh \(I\left( { - \frac{2}{3};\frac{{82}}{3}} \right)\) và \(a = 6 > 0\) nên
\(\min f(t) = \frac{{82}}{3}\) tại \(t = - \frac{2}{3}\).
Với \(t = - \frac{2}{3}\) \(\Rightarrow H\left( { - \frac{2}{3};\frac{4}{3}} \right)\)
Vậy \(H{A^2} + H{B^2} + H{C^2}\) nhỏ nhất khi \(H\left( { - \frac{2}{3};\frac{4}{3}} \right)\).
